一個有趣的數學題：歐拉計劃第33題，有興趣的同學看過來

pacelife

原題是這樣的：分數 49/98 是一個奇怪的分數：當一個菜鳥數學家試圖對其進行簡化時，他可能會錯誤地可以認為通過將分子和分母上的9同時去除得到 49/98 = 4/8。但他得到的結果卻是正確的。
1 j5 m  I! _) G6 u$ n3 v我們將30/50 = 3/5這樣的分數作為普通個例。
' e; L2 y3 Y" [* y3 T% A& p# r0 p一共有四個這樣的非普通分數，其值小于1，并且包括分子和分母都包括2位數。
如果將這四個分數的乘積約分到最簡式，分母是多少？
; W* n! `& L! q, p
我把這個問題稍微改一下：求出這四組數
我已經用編程算出來了，有興趣的不妨也來試試看
; n+ [6 F1 x9 K9 n9 _5 Z4 W8 H
7 q, s  I# ^0 E$ m: f1 F

冷月梧桐

49/98=4/8 16/64=1/4，19/95=1/5,26/65=2/5
' l) h& y5 X' c" J. r: z
AB/BC=A/C  可得B>C>A，B-C<5，然后就算出來了

此男子不抽煙

冷月梧桐 發表于 2015-12-14 01:23
- o8 `: N* F* v/ ^; l. V( E4 v49/98=4/8 16/64=1/4，19/95=1/5,26/65=2/5
2 j, P9 \. n* k2 @) C1 ~' J
# x  [' i& Q4 w: rAB/BC=A/C  可得B>C>A，B-C

: k$ c! O; B1 C. ^充分利用限制條件 ,gao!

鋼鐵俠2014

很有意思的小題目啊，剛好最近在學python，晚上回家寫個小程序算算

王奮斗

冷月梧桐 發表于 2015-12-14 01:23
- [# V) L& B& ~" c1 n8 D8 |$ x49/98=4/8 16/64=1/4，19/95=1/5,26/65=2/5
/ J) }  ]4 S/ s8 f# C% X/ _1 f: v( A
1 E$ R2 `. U& O5 Y0 g/ ]: U) V. iAB/BC=A/C  可得B>C>A，B-C

- p! \2 u: l6 v. _/ `老師，B>C以及B-C<5這個結論怎么得出來的？

王奮斗

等討論結束后，能否把程序也共享一下吧。

冷月梧桐

此題有AB/CB=A/C,BA/BC=A/C,AA/CC=A/C,BA/CB=A/C,AB/BC=A/C,四種情況,且A,B,C皆是0-9不等的自然數,即AB=10*A+B
5 r/ y; {, L0 t9 J1.AB/CB=A/C,這種情況下,
7 B/ c5 I- ~$ ]. _/ c0 N4 n# q(10*A+B)*C=(10*C+B)*A
B*C=A*B，A不等C，故而B=0，此解皆為10/20=1/2之流，不屬題意
, Z: r9 a' s& h% u0 z$ @% J
2.BA/BC=A/C，
(10*B+A)*C=(10*B+C)*A
10*B*C=10*B*A,此時同1，B為0，十位為零，兩位數之說便不合題意

+ w5 O. a9 f) y3 O3.AA/CC=A/C
此種請況，A,C為任意值也都成立，如11/22=1/2，亦不屬題意
3 F; y0 G; U9 h7 i. i! G
4.BA/CB=A/C
1 R: I2 p7 L/ _6 O7 S（10*B+A)*C=(10*C+B)*A
/ V/ e8 @: b+ ?' p( |! X3 r10*B*C-9*C*A=A*B
+ M7 j$ V8 J9 T# {* t  C1 NC*(10*B-9*A)=A*B        題知分數A/C<1,得C>A
若B<A,上方為負值，亦為無意，故而B>A
故而10*B-9*A>A,又因C*(10*B-9*A)=A*B，
C*(>A)=A*B
% E  ?  |1 K" k0 R% @$ w* V所以C<B，
. X7 D; n% s/ ~+ r! T0 Z又因分數BA/CB=A/C<1,故而B<C,與上述C<B想逆，無解

5 AB/BC=A/C
（10*A+B)*C=(10*B+C)*A
10*A*B-9*C*A=B*C
A*(10*B-9*C)=C*B,
分數AB/BC=A/C<1,得A<B，A<C
同4可知B>C,既有B>C>A
# \) ]( ^5 ^9 GA*(10*B-9*C)=C*B,
如果B-C>=5,左邊A*(10*B-9*C)>50,右邊C*B最大的9*（9-5）<左邊
故而只能是
% s1 ^0 ]6 Q: q. i9 g5 @0 j9 W加上A*(10*B-9*C)=C*B,，B>C>A ，B-C<5的條件，B，C可取之數寥寥，可解

843694568

高人面前，自慚形穢。

843694568

復制7樓的文字，選中泛藍后，出現一些亂碼，如下圖。
選中并copy，
- J: o( |  _/ k粘貼在筆記本中，亂碼出現；
粘貼在Word中，亂碼不出現，相應位置是空格。
請高人科普，謝謝。

pacelife

該題計算量不大，所有情況都算進去也不過10000次，所以編程應該是秒出的，7樓大神已經給出詳細的分析過程了，晚上我給出一種編程的解法